MENARA HANOI

        Pemrograman dinamis (dynamic programming) adalah metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian rupa sehingga solusi dari permasalahan ini dapat dipandang dari serangkaian keputusan-keputusan kecil yang saling berkaitan satu dengan yang lain. Penyelesaian persoalan dengan pemrograman dinamis ini akan menghasilkan sejumlah berhingga pilihan yang mungkin dipilih, lalu solusi pada setiap tahap-tahap yang dibangun dari solusi pada tahap sebelumnya, dan dengan metode ini kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

    

Permainan Menara Hanoi (Tower of Hanoi), disebut juga Tower of Brahma atau Tower of Brahmas, adalah sebuah permainan matematis atau teka-teki. Permainan ini terdiri dari tiga tiang dan sejumlah cakram dengan ukuran berbeda-beda yang bisa dimasukkan ke tiang mana saja. Permainan dimulai dengan cakram-cakram yang tertumpuk rapi berurutan berdasarkan ukurannya dalam salah satu tiang, cakram terkecil diletakkan teratas, sehingga membentuk kerucut. Permainan ini dimulai dengan kepingan yang tersusun dengan susunan seperti gambar dibawah ini:  

dengan kepingan berdiameter terkecil berada di atas, dan membentuk piramida. Tujuan dari permainan ini adalah untuk memindahkan semua stack ke tiang yang berbeda dengan posisi yang sama seperti posisi semula. Permainan Permainan Menara Hanoi (Tower of Hanoi), atau disebut juga Tower of Brahma (Tower of Brahmas) merupakan sebuah permainan matematika yang kuno, dibuat oleh matematikawan dari prancis, Edouard Lucas pada tahun 1883.

Ada sebuah legenda tentang candi Indian yang berisi ruang besar dengan tiga tiang yang dikelilingi 64 cakram emas. Pendeta Brahma, melaksanakan tugas dari peramal di masa lalu, sesuai dengan aturan teka-teki ini. Menurut legenda ini, bila teka-teki ini diselesaikan, dunia akan kiamat. Tidak jelas benar apakah Lucas menemukan legenda ini atau terinspirasi olehnya. Bila legenda ini benar, dan pendeta itu bisa memindahkan satu cakram tiap detik, menggunakan pemindahan paling sedikit, maka akan memakan waktu 2⁶⁴−1 detik atau kurang lebih 584,582 miliar tahun.

Soal dari permainan ini dalam bahasa inggris tertulis demikian:

“Legend has it that a group of Eastern monks are the keepers of three towers on which sit 64 golden rings. Originally all 64 rings were stacked on one tower with each ring smaller than the one beneath. The monks are to move the rings from this first tower to the third tower one at a time but never moving a larger ring on top of a smaller one. Once the 64 rings have all been moved, the world will come to an end”. 

Sudah banyak tertulis di berbagai sumber bahwa solusi optimal untuk permasalahan ini adalah gerakan. Dengan asumsi satu gerakan akan memakan waktu 1 detik, maka dengan perhitungan singkat akan didapat bahwa untuk Menara Hanoi dengan ketinggian 64 akan memakan waktu sampai tahun.

Atau dapat ditawarkan lagi soal lain:

“Take only 5 rings and try all possible solutions. Then the Universe will come to an end”.

Jika kita mengambil asumsi bahwa setiap solusi (yang memiliki biaya yang berbeda) hanya satu detikpun, akan memakan waktu hingga tahun untuk mencoba semua kemungkinan solusi. Terlalu banyak waktu untuk membuat kemungkinan terjadi Big Bang berkali-kali.

Bahkan, untuk bahan lelucon, hingga ditawarkan soal seperti ini:

“Take only 4 rings and let each human on Earth solve the game in different way. When all different solutions are used the Universe will come to an end”.

      Demikian sejarah yang membuat permainan ini menarik untuk orang-orang pada jaman itu. Dan dalam berjalannya waktu hingga sekarang banyak ahli yang mencoba menerapkan banyak algoritma untuk menyelesaikan permasalahan Menara Hanoi ini.

Permainan ini terdiri dari sebuah papan main yang diatasnya sudah tertancap tiga tiang dengan ketinggian yang sama. Selain itu, kakas lain dalam permainan ini adalah kepingan-kepingan lingkaran dengan diameter yang berbeda dan dapat berpindah ke tiang yang lain. Permainan ini dimulai dengan kepingan yang tersusun dengan susunan yang sudah ditentukan, yaitu kepingan berdiameter terkecil berada di atas, dan membentuk piramida. Tujuan dari permainan ini adalah untuk memindahkan semua tumpukan kepingan ke tiang yang berbeda, dengan posisi yang sama seperti posisi semula.

     Ada beberapa aturan yang telah ditetapkan untuk menyelesaikan permainan ini, antara lain:

 Hanya satu kepingan puzzle yang boleh dipindahkan oleh pemain pada satu giliran.

 Setiap giliran gerakan terdiri dari memindahkan kepingan paling atas yang terdapat pada satu tiang, dan memasukkan kepingan tersebut ke tiang lain, sehingga kepingan tersebut menjadi kepingan paling atas di tiangnya yang baru, baik dibawahnya ada kepingan maupun tidak.

Sebuah kepingan tidak dapat dipindahkan ke tiang yang lain apabila pada puncak tumpukan di tiang tersebut terdapat kepingan dengan ukuran diameter yang lebih kecil daripada kepingan yang ingin dipindahkan.

Untuk memainkan permainan ini, silahkan klik (menara hanoi).

Sumber : siomah.blogspot.com/2012/03/tower-of-hanoi-description.html

              id.wikipedia.org/wiki/Menara_Hanoi

              http://p4tkmatematika.org/permainan/Html/Permainan/menara_hanoi.htm

SAJAK LANGIT UTARA (bagian 1)

PENJELAJAH
Oleh: Tria Achiria

Pada lengkung langit yang menebar jingga di senjanya,
resah telah rebah, seusai telapak tapak meninggalkan jejak,
pada pasir, pada lempung tanah, atau pada segala yang telah terlampaui oleh beribu lemangkah,
O, penjelajah yang tak pernah berserah pada rerantai lelah yang merajah, rangkaki lah rangkaki terus tebingtebing yang menggema, berseru padamu "aku menunggumu di pucuk rindu"

RINDU YANG ALIR
Oleh: Tria Achiria

Kang, rindu yang alir dari  hatiku yang sungai,

kelak mesti bermuara jua, dan arus hatimu yang welas asih,

telah memuarakan alirnya pada tatap matamu yang laut.

Kang, jadikan alirku sebagai ombak,
yang setia mendeburkan doa pada badai yang menerjangmu dengan beribu ngilunya pilu,
hingga kita dapat kembali melayarkan mimpimimpi yang kapal pada tiaptiap dermaga yang menantinya.   

SEPUCUK SAJAK RINDU
Oleh: Tria Achiria

Menjelang matasenja membenamkan diri untuk menyepi,
di julang karang seseorang tengah mengepakkepakan sajak rindunya yang sayap,
dan menitipkan'a pada angin yang melamar layar kapal,
agar sampai dan bersandar di dermaga,
di mana kekasihnya tengah termangu, menunggu sauh berlabuh,
agar dapat segera membaca sepucuk sajak rindu, yang telah lama mengembara di samudera tanpa nama. 

PADA LEKAPLEKUP PATAHAN HUJAN
Oleh: Tria Achiria

Duh kang, lihat embun yang masih gemantung,

mematung di ujungujung daun tanjung, di wening bulirnya adalah juga air mataku,

yang siap mencercapkan perih, dari jerihmu yang memaku rangkulan luka,

pada lekaplekup patahan hujan di kebunku, kau sebut kebun kita dulu,

sewaktu urat merah jambu masih berlekatan di jantungku, di jantungmu, dan pelanpelan kini remuk di antaranya

JEJAK
Oleh: Tria Achiria

Ah, Jejak juga lah yang akhirnya mengembalikan kita pada padu,

menaklukan setiap bimbang atau sekadar langkah yg ragu,

tapi tetangkai juga sempat membuat kita mampu melupa lunglai,

melesapkan damai jauh dalam tiaptiap ketergesaan kita,

manakala pasir telah menyimpan stiap pijak yang meniadaartikan jarak,

dan suatu kelak kita akan kembali merindu perjalanan yang berarak.

DI RUANG INI
Oleh: Tria Achiria

Aku selalu berharap tiap jelang tidur dan bangunku tak mengingatmu.

tp pagi ini, masih yang kemarin. entah telah dan akan berapa lama?

Kau masih berkelebat, lir menawanku di ruang ini dengan hujan lebat yang berdebat dengan angin dan kilat.

tak mereda. entah telah dan akan berapa lama?

Ah, ruangku ini terasa tak berudara. 

SAJAK LANGIT UTARA (bagian 2)

SURAU

Oleh: Fiqri Hasan

Ringking meringking jangkrik merintih

dibalik bilik yang lusuh menalu tasbih

tak sebening pijar memang

sekedar obor dan lilin kecil meredupkan hati

Disudut senja terbenam hirukpikuk

menghapus senja dari perantauannya

namun aku masih menunggu….

menunggu dan kian menunggu….

Gelap perlahan merayap mendekap senja

memaksa mua’zin menggemakan azhan

beserta gemuruh bedugnya

Aku bergegas berpaling dari nyata ku

mengubur sejenak kelabu dunia

masih di SURAU ini, di bulan mulud

bulan penuh muhabat

GOBAL

Oleh: Fiqri Hasan

Ada rindu dibias mata indah mu

menghentikan goresan senyum dan canda

sempat nafasku terhenti terdengar kabar dari mu

yang malu tapi tak bisu

Dengar dadaku, nadanya semakin tinggi

setinggi jeritan hansip teriak maling

melepas hening dimalam bisu, gila memang

tapi itu aku untuk mu…

Entah mengapa itu ada?

dimana manis terasa awal & pahit terasa terakhirkan

semuanya busuk membusukan kebohongan

terkandang indah, mengindahkan duniamu

maka janganlah ragu tuk labuhkan hati

di pantai harapan ini

PESONA KIBLAT

Oleh: Fiqri Hasan

Aku kembali terlena di mega sana yang damai

Menyusuri telaga surya merah nan elok

Dalam indahnya aku terpaku pada kegigihan mereka

Para seragam orange hijau yang telah melewatu teriksurya di 0⁰

Sekali lagi aku hanya menikmati indahnya senja

Tak se orange dan se hijau mereka

Yang tegar menikmati surya dari senyumnya fajar

Hingga eloknya senja

Ya tuhanku,

Butakan aku dari kemalasan

Lumpuhkan aku dari kemaksiatan

Dan tulikan aku dari perselisihan

Karena sesungguhnya kesempurnaan ku

Hanya untuk NYA.

KARTINI KOSONG

Oleh: Fiqri Hasan

Tergemakan nafas indah dari semangat dan mimpinya

Terheningkan keserakahan dan kemunafikan

Namun masih saja kosong

Esok kau teriakan, lusa kau impikan

Masih dengan Ego dan niat mu

Namun masih saja kosong

Tiba-tiba nafas terhenti

Raga pun hilang

Maka tak lagi kau kosong

Karena kita negeri yang merindukan

KEKOSONGAN

LABIL

Oleh: Fiqri hasan

Magma melelehkan jiwa mereka yang tak konstan

Berbaur dengan debu dan asap yang hitam kadang putih

Dan terus berkoreo dengan hembusan angin

Nafasnya sesak terhindar filter dan batasan

Menggelapkan pandangan dengan kabut tebal

Hingga siang semakin malam

Lahar dingin menghanyutkan kepercayaan

Membebaskan emosi membanjiri kedamaian

Begitu juga dengan keadilan yang kian menyikis

Ya tuhan ku, gemparkan hati ku dengan doa Mu

Luruskan harapan ku dengan Cinta Mu

Dan kembalikan semangat dari hilap ku

RAPUH

Oleh: Fiqri Hasan

Lukai saja sepatah ini

Buang saja serpihan hati

Bagai sayap tak bermerpati

Angin timur memecah iri

Pusaran lautan asmara

Kelabu duka menyapa

Tapi suka ini berkata

Tetap ku bahagia dengan luka

Di ujung kebahagiaan aku tiada

Di samping kasihnya aku berada

Di dalam hatinya sirna

Tanpa kasih tanpa sapa tanpa senyum

Aku bahagia tanpa semua

Pasti akan ku balas semua senyum mu

Dalam luka dan duka ini

HARAMNYA SURGA

Oleh: Fiqri Hasan

Nafsu jiwa mu kekal ditangan kiri

Melepas kekejian ditangan kanan mu

Merasuk jiwa tak kunjung cinta

Tak harap dia punya

Hanya suka tak kurang duka

Maka cukuplah cinta tandai dia

Aku wanita, tuk dicinta dan diluka

Lemah jika ku beri cinta

Aku tegar sat ku terima sinar cintanya

Yang terus tanpa jasa dan harapankarena cinta hanya untuk CINTA

Bukan yang lain

DERMAGA TUA

Oleh: Fiqri Hasan

Melihat aku di dermaga tua

Berlayar sudah menunggu senja

Terbuat bimbang mencari surga

Hingga tawa pun sirna

Cepat sekali dia merampas

Setepat pula ku melepas

Bagai hati terguyur panas

Tertusuk duri begitu deras

Mahkotai kesepian ini

Beri aku serpihan hati

Hingga ku bangun terobati

Melihat cinta mati suri

Bungkam mulut mu…!!!

Biar ku tepas rasa ragu

Pilu…

Dan rindu….

BUKU MATEMATIKA WAJIB SMA KELAS X (Kurikulum 2013)

10 Matematika Buku Guru

EKSPONEN (Bilangan Berpangkat)

1. Pengertian Eksponen

Secara gamblang, eksponen adalah perkalian berulang. Banyaknya perkalian yang dilakukan ditulis di atas bilangan pokok dengan ukuran angka kecil. Misal:

4 x 4 x 4. Maka ditulis  $4^{3}$ dengan 4 sebagai bilangan pokok, dan 3 sebagai bilangan pangkat (banyaknya perkalian).

2. Tokoh dan Sejarah Eksponen

Bilangan berpangkat sangatlah membantu kita dalam mempersingkat bilangan yang relatif besar atau kecil sekali. semisal 0,00000099 ditulis dalam bilangan berbangkat menjadi 9,9 x $10^{-7}$. Adapun orang yang pertama kali menemukan bilangan berpangkat atau eksponen adalah John Napier (1550-1617). John Napier merupakan seorang bangsawan dari merchiston, skotlandia. Dia juga merupakan penemu bilangan logaritma, yang memang ada hubungannya dengan bilangan eksponen. Napier menyadari bahwa setiap bilangan bisa diubah dalam bentuk eksponen maupun logaritma, agar bilangan tersebut bisa dirubah dalam bentuk yang lebih sederhana.
3. Terapan Eksponen
Di beberapa cabang ilmu pengetahuan, Bilangan eksponen tentu sangatlah membantu dalam perhitungan sebuah rumus atau perbadingan. Misal dalam pelajaran ekonomi (Perhitungan bunga majemuk) Apabila suku bunga yang dibayarkan sebanyak 1 kali dalam setahun,  maka dapat dihitung dengan rumus: Mn=M$(1+i)^{n}$ . Kemudian dalam pelajaran Biologi, Fungsi ini digunakan untuk mengukur pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan perusahaan yang dimulai dari awal waktu hingga batas waktu tertentu. Dalam menghitung Pertumbuhan Biologis dapat dirumuskan: N=No$\left ( R \right )^{t}$ . Masih banyak tentunya penerapan konsep logaritma pada cabang ilmu pengetahuan lainnya, sehingga wajar saja saat Matematika dijadikan dasar dari berbagai cabang ilmu pengetahuan.
4. Rangkuman Eksponen
    A. Aturan perpangkatan
Seperti yang telah dijelaskan, eksponen memiliki aturan/sifat-sifat tersendiri dalam segi penulisan dan perhitungan bilangan berpangkat. Berikut aturan-aturan yang berlaku dalam eksponen:
1. $a^{^{p}}.a^{^{q}}=a^{p+q}$
Jika sebuah bilangan pangkat yang memiliki bilangan pokok yang sama, maka kedua bilangan pangkatnya bisa dijumlahkan.
2. $\frac{a^{p}}{a^{{q}}}=a^{p-q}$
Jika pada sebuah pembagian/pecahan bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokok yang sama, maka bilangan pangkat pembilang dijumlahkan/dikurangi bilangan pangkat penyebutnya
3.$ \left ( a^{p} \right )^{q}=a^{{p.q}}$
Jika bilangan pangkat dipangkatkan, maka kedua pangkatnya dikalikan.
4. $\left ( a.b \right )^{p}=a^{p}.b^{p}$
pada perkalian yang dipangkatkan, maka kedua bilangan pokok diberi pangkat yang sama.
5. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{p}=\left ( \frac{a^{p}}{b^{p}} \right )$
Begitujuga pada pembagian/pecahan, maka pembilang dan penyebutnya diberikan pangkat yang sama.
6. $a^{0}=1,a\not\equiv 0$
Pada aturan perpangkatan, berapapun bilangan pokok pada sebuah bilangan berpangkat, jika dipangkatkan nol (0) maka hasilnya (1). dengan pengecualian bilangan pokok tidak boleh nol (0)
7. $a^{-p}=\frac{1}{a^{p}},a\not\equiv 0$
Jika sebuah bilangan memiliki pangkat negatif, maka berlaku sifat invers. Pangkat negatif berubah menjadi positif dalam kondisi sebagai penyebut.
   B. Bentuk Akar
Bentuk akar pada dasarnya adalah bentuk lain dari bilangan berpangkat, misalkan $\sqrt{9}$ = 3. Karena 9 adalah perkalian berulang dari 3 (3x3). Contoh lain $\sqrt[3]{8}$ = 2. Berbeda dengan akar sebelumnya, $\sqrt[3]{8}$ memiliki akar pangkat yakni 3. Sehingga kita harus mencari angka yang jika dikalikan berulang sebanyak 3 kali. maka hasilnya 8. Maka jawaban untuk $\sqrt[3]{8}$ adalah 2, karena 8 adalah hasil perkalian berulang dari 2 (2x2x2). Untuk lebih jelas, berikut akan dijelaskan bagaimana bentuk akar bisa dirubah kedalam bentuk pangkat.
1. $\sqrt[n]{a^{m}}$ = $a{^{\frac{n}{m}}}$
Misalkan diketahui $\sqrt[4]{5^{3}}$ akan dirubah dalam bentuk pangkat, maka bentuknya menjadi $5^{\frac{3}{4}}$.
2. $\sqrt{a.b}$ = $\sqrt{a}.\sqrt{b}$
Misalkan diketahui $\sqrt{32}$ maka bentuk lainnnya menjadi $\sqrt{16.2}$ lalu di rubah menjadi $\sqrt{16}.\sqrt{2}$ atau bisa juga menjadi $4\sqrt{2}$, karena $\sqrt{16}$ adalah 4.
3. $\sqrt{\left ( \frac{a}{b} \right )}$ = $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Misalkan diketahui $\sqrt{\left ( \frac{16}{5} \right )}$ maka bentuk lainnya menjadi $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5}}$ atau bisa juga menjadi $\frac{{4}}{\sqrt{5}}$ karena $\sqrt{16}$ adalah 4.
5. Games Exponen
   1. Otter Rush
   2. Alien Power

LOGARITMA

1. Pengertian Logaritma
Secara sederhana, Logaritma adalah kebalikan dari eksponen atau bisa dikatakan juga, logaritma adalah bentuk lain dari eksponen. Misal, dalam bentuk eksponen $2^{3}=8$ sedangkat dalam betuk logaritma berubah menjadi $^{2}\log 8=3$ . Untuk lebih jelas lihat gamabar di bawah ini:

Keterangan:
a = Basis
b = Bilangan Logaritma
c = Hasil Logaritma
2. Tokoh Logaritma
Karena ekxponen dan logaritma sangat berkaitan, maka tak heran jika pencetus logaritma dan eksponen adalah orang yang sama, yakni John Napier. (Lebih Jelas buka bab Eksponen).
3. Terapan Logaritma
Logaritma pada dasarnya hanya bentuk lain dari sebuah bilangan berpangkat, dengan adanya logaritma kita bisa mempersingkat sebuah bilangan yang sangat kecil maupun sangat besar sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana. Maka dari itu terapan logaritma banyak digunakan dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan. Sebagai contoh :
a. intensitas gempa bumi diukur dlm skala richter yg berbasis logaritma 
b. dlm teori informasi, logaritma digunakan sbg ukuran dari jumlah informasi 
c. dlm kimia: ukuran keasaman adalah pH yg didefinisikan sbg logaritma dari aktifitas ion      hydronium 
d. menghitung tingkat kebisingan suara (satuan : desibel) 
e. menghitung tingkat pertumbuhan (manusia maupun bakteri) 
f. menghitung usia fosil

4. Rangkuman Logaritma
Dalam materi logaritma, kunci utamanya adalah memahami sifat-sifat logaritma, adapun sifat-sifatnya sebagai berikut:
     a. Logaritma Perkalian dan Pembagian

• $^{b}log(x.y)=^{b}log(x)+^{b}log(y)$
• $^{b}log(x/y)=^{b}log(x)-^{b}log(y)$

     b. Logaritma Perpangkatan

• $^{b}log(x)^{p}=p.^{b}log(x)$
• $^{b}log(b)^{n}=n$
• $^{b}log(b)=1$
• $^{b}log(1)=0$
• $^{b^{m}}log(c^{n})=\frac{n}{m}^{b}log(c)$
• $^{b}log(a)$ = $^{b^{n}}log(a^{n})$

     c. Mengubah Basis Logaritma

• $^{b}log(x)=\frac{^{a}log(x)}{^{a}log(b)}$
• $^{b}log(x)=\frac{1}{^{x}log(b)}$
• $^{a}log(b).^{b}log(c)=^{a}log(c)$

     d. Perpangkatan dengan Logaritma

• $b^{^{^{b}}log(x)}=x$